Завдання 30.
Задано функцію y=x3−3x.
1. Для наведених у таблиці значень аргумента x визначте відповідні їм значення y.
x | y |
0 |
|
-1 |
|
2 |
|
2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції y=x3−3x із віссю x.
3. Знайдіть похідну f ′ функції f(x)=x3−3x.
4. Визначте нулі функції f ′.
5. Визначте проміжки зростання i спадання, точки екстремуму й екстремуми функції f.
6. Побудуйте ескіз графіка функції f.
Розв'язування.
1. Для значень аргумента x визначаємо відповідні їм значення y.
Якщо х = 0, то у = 0,
Якщо х = –1, то y = 2,
Якщо х = 2, то у = 2.
2. Координати точок перетину графіка функції y=x3−3x із віссю Оx., Знайдемо розв’язки рівняння:
x3−3x = 0;
х(х2-(30,5)2) =0;
х(х-30,5)(х+30,5)=0;
х1=0; х2=-30,5; х3=30,5. 30,5»1,732050807568877
Це три точки: (- 30,5; 0); (0; 0) ; (30,5; 0).
3. Знайдемо похідну f ′ функції f(x)=x3−3x.
f ¢ (x) = 3x2 – 3.
4. Визначимо нулі функції f ′.
3x2 – 3=0;
3(x2 – 1)=0;
3(x – 1)(x + 1)=0;
x1 = 1; x2 = –1.
5. Визначимо проміжки зростання i спадання, точки екстремуму й екстремуми функції f.
Проміжки зростання:
f ¢ (x) >0;
3(x –1)(x +1)>0;
хє(-¥; -1],[1; +¥) .
Графік функції зростає на: (-¥; -1],[1; +¥) .
Проміжок спадання:
f ¢ (x) <0;
3(x –1)(x +1)<0;
хє[-1;1] ;
Графік функції спадає на: [-1;1] .
Знайдемо точки екстремуму:
3(x –1)(x +1)=0
xmax = -1; xmin =1;
Знайдемо локальні екстремуми:
fmax = f(-1)=2;
fmin = f(1)= -2.
Глобальних екстремумів функція немає, бо коли х прямує до +оо, то значення функції прямує до +оо, а коли х прямує до -оо, то значення функції прямує до -оо.
6. Побудуємо ескіз графіка функції f(x)=x3-3x.
Звертаємо увагу на те, що дана кубічна функція непарна, неперервна, дифернційована і визначена на усій дійсній осі,
Графік симетричний відносно точки (0;0) і проходить через цю точку.
Графік даної функції випуклий вгору на проміжку: (-оо; 0] та випуклий вниз на промiжку: [0; +oo).
Графік функції має точку перегину (0;0).
Графік функції на має асимптот.
Завдання 31.
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник ABCD, сторона AD якого лежить в нижній основі циліндра. Діагональ AC перерізу дорівнює d й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут β.
1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр i його осьовий переріз ABCD.
2. Укажіть кут β, що утворює пряма AC із площиною нижньої основи циліндра.
3. Визначте об’єм циліндра.
Розв'язування.
1.Зобразимо на рисунку заданий циліндр i його осьовий переріз ABCD.
2. Укажемо кут β, що утворює пряма AC із площиною нижньої основи циліндра.
Із точки С опустимо перпендикуляр на площину нижньої основи циліндра. Таким перпендикуляром у прямому циліндрі буде твірна цилінндра CD. Для похилої АС проведемо проекцію у площині нижньої основи AD. Шуканий кут між прямою AC і площиною нижньої основи циліндра являється кут β між похилою АС і її проекцією AD.
3. Визначимо об’єм циліндра.
Формула об’єму цилідра V=pR2H, де R – радіус основи циліндра , H - висота циліндра.
AD – висота циліндра, АО – радіус циліндра.
Розглянемо прямокутний трикутник АСD, в якому кут ADС – прямий кут, DАС = відомий кут β, гіпотенуза АС=d. Отримуємо:
діаметр циліндра AD= dcosβ,
висоту циліндра Н=DС= dsinβ,
радіус циліндра R=0,5АС=ОС= 0,5dcosβ, R2=0,25d2cos2β
об’єм цилідра V=pR2H=0,25pd3cos2βsinβ, де 0<β<90o.
Завдання 32.
Розв'язування.
1. Обгрунтуємо лінійний кут двогранного кута між площинами АКD та BKD.
АD – діаметр нижньої основи циліндра, який перпендикулярний до твірної АС.
Розглянемо прямокутний трикутник АКD, в якому кут AКD – прямий кут, бо спирається на діаметр кола нижньої основи циліндра.
У площині нижньої основи хорда АК перпендикулярна до твірної АB, бо твірна циліндра АB перпендикулярна до площини нижньої основи циліндра.
Похила ВК має проекцію АК в площині основи циліндра.
Пряма KD – це ребро двогранного кута, що утворений перетином двох площин АКD та BKD. За теоремою про три перпендикуляри похила СК перпендикулярна до KD.
Хорда АК перпендикулярна до ребра KD двогранного кута між площинами АКD та BKD. Таким чином, кут ВКА – це лінійний кут двогранного кута при ребрі KD, тобто це кут між площинами АКD та BKD. Тому кут ВКА дорівнює g.
2. Знайдемо величину g, як величину лінійного кута між площинами АКD та BKD.
DАС = відомий кут β, гіпотенуза DВ=d в прямокутному трикутнику BAD. Відомий кут DКА дорівнює g.
Радіус циліндра R=0,5АС=ОС= ОК=ОА=0,5dcosβ.
Із прямокутного рівнобедреного трикутника АОК із прямим кутом АОК, отримуємо довжину хорди АК= 20,5R = 0,5*20,5dcosβ.
Із прямокутного трикутника BAD отримаємо довжину діаметра циліндра AD= dcosβ та довжину висоти циліндра Н=АВ= dsinβ.
Розглянемо прямокутний трикутник АВК із прямим кутом ВАК.
Із трикутника АВК отримаємо:
tgg=AB/AK= dsinβ/0,5*20,5dcosβ=20,5tgβ
tgg = 20,5tgβ
g = arctg(20,5tgβ), де 0<β<90o. Що і треба було знайти.
