Системи нелінійних рівнянь з параметром

Завдання 33 із ЗНО-2017 за 2017 рік

1.Розв’яжіть систему двох рівнянь:

|x-y|=|x-a|;

lg(y-a)=lg(4a²+x-x²)

залежно від дійсних значень параметра а.

Розв’язання: 1) Розкриємо знак модуля у рівнянні |x-y|=|x-a|. Для цього розглянемо чотири випадки:

1) якщо х-у≥0, x-a≥0, тоді х-у=х-а, тобто у=а.

2) якщо х-у≥0, x-a<0, тоді х-у=a-x, тобто у=2x-а.

3) якщо х-у<0, x-a≥0, тоді y-x=x-a, тобто у=2x-а.

4) якщо х-у<0, x-a<0, тоді y-x= a-x, тобто у=а.

Розглянемо дві пари чисел, що задовольняють рівнянні |x-y|=|x-a|:

(х; 2х-а),

(х; а).

Після безпосередньої перевірки пари чисел (х; а) у другому рівнянні отримаємо висновок, що ця пара не являється розв’язком даної системи рівнянь.

Після безпосередньої перевірки пари чисел (х; 2х-а) робимо висновок: ця пара задовольняє друге рівняння при умові виконання ОДЗ.

Тепер отримаємо розв’язки даної системи рівнянь. Для цього у друге рівняння замість змінної у підставимо вираз 2х-а, матимемо:

lg(2х-а-a)=lg(4a²+x-x²)

Виконаємо дослідження кількості розв’язків цього рівняння в залежності від параметра а.

Знайдемо ОДЗ: х>a, 4a²+x-x²>0.

Розглянемо рівняння 2x-2a=4a²+x-x²

x²+x-4a²-2a=0;

D=(1+4a)²;

x₁=-2a-1;

x₂=2a.

Тоді

у₁=-5a-2;

у₂=3a.

Перевіримо, чи належить до ОДЗ другого рівняння lg(2х-а-a)=lg(4a²+x-x²)

даної системи дві пари чисел:

(-2a-1; -5a-2), (2a; 3a). Перевірку виконайте самостійно.

Таким чином, пара чисел (-2a-1; -5a-2) вимагає такої множини а<-1/3.

Пара чисел (2a; 3a) вимагає такої множини а>0.

Відповідь: якщо а<-1/3, то система має одну пару розв’язків: (-2a-1; -5a-2);

якщо -1/3<а<0, то система розв’язків немає;

якщо а>0, то система має розв’язок: (2a; 3a).

Завдання для самостійної роботи.

2.Розв’яжіть систему двох рівнянь

|2а-5х|=|x-2у|;

lg(y-3х+a)=lg(18a²+23а-4+(9а-2)x+x²)

залежно від дійсних значень параметра а.

Відповідь: якщо а<-1+3/17, то система розв’язків немає;

якщо -1+3/17<а<5/32, то система має одну пару: (-3a-4; 7a+8);

якщо а>5/32, то система має дві пари: (-6a+1; 13a-2), (-3a-4; 7a+8).

3.Розв’яжіть систему двох рівнянь:

|у+х-а|=|4x-5а|;

(2а-y-2х)^0,5=а

залежно від дійсних значень параметра а.

Відповідь: якщо а<0, то система розв’язків немає;

якщо а≥0, то система має два розв’язки: (1,2a-0,2а²; -0,4a-0,6а²), (3^-1а²+4а/3; -2a/3-5а²/3).

4.Знайдіть кількість розв’язків системи двох рівнянь:

|х-а|×|у-а²|=0 ;

|х-1+а²|×|у-а²-а|=0 ;

залежно від дійсних значень параметра а.

Відповідь: має безліч числових розвязків, які можна записати у вигляді пар: (а; -a+а²), ( -1+а²; а²), для дійсних значень параметра а.

5. Розв’язати систему рівнянь:

4-2cospy=2/(1+2x²);

y=2-x²

Якщо система єдиний розв’язок (х_о ; у_о), то у відповідь записати суму х_о + у_о, Якщо система більше, ніж один розв’язок, то у відповідь записати кількість усіх розв’язків.

Відповідь: (0; 2) то сума 0 + 2 = 2.

31 травня 2017 року відбулося зовнішнє незалежне оцінювання з математики . Пропонуємо ознайомитися з правильними відповідями до завдань сертифікаційної роботи з математики та схемою оцінювання завдання відкритої форми з розгорнутою відповіддю.