пʼятниця, 2 червня 2017 р.

ЗНО -2017 з математики

Системи нелінійних  рівнянь з параметром

Завдання 33 із ЗНО-2017 за 2017 рік
1.Розв’яжіть систему двох рівнянь:
 |x-y|=|x-a|;
  lg(y-a)=lg(4a2+x-x2)
 залежно від дійсних значень параметра а.
Розв’язання: 1) Розкриємо знак модуля  у  рівнянні |x-y|=|x-a|. Для цього розглянемо чотири випадки:
1)    якщо  х-у≥0, x-a≥0,  тоді х-у=х-а, тобто у=а.
2)    якщо  х-у≥0, x-a<0,  тоді х-у=a-x, тобто у=2x-а.
3)    якщо  х-у<0, x-a≥0,  тоді y-x=x-a, тобто у=2x-а.
4)    якщо  х-у<0, x-a<0,  тоді y-x= a-x, тобто у=а.


Розглянемо дві пари чисел, що задовольняють рівнянні |x-y|=|x-a|:
(х; 2х-а),
(х; а).
Після безпосередньої  перевірки  пари чисел (х; а)  у другому рівнянні отримаємо висновок, що ця пара не являється розв’язком  даної системи рівнянь.
Після безпосередньої  перевірки  пари чисел (х; 2х-а) робимо висновок: ця пара задовольняє  друге рівняння  при умові виконання ОДЗ.
 Тепер отримаємо   розв’язки  даної системи рівнянь. Для цього у друге рівняння замість змінної у підставимо вираз 2х-а, матимемо:
lg(2х-а-a)=lg(4a2+x-x2
Виконаємо дослідження кількості розв’язків цього рівняння в залежності від параметра  а.
Знайдемо ОДЗ: х>a,  4a2+x-x2>0.
Розглянемо рівняння 2x-2a=4a2+x-x2
x2+x-4a2-2a=0;
D=(1+4a)2;
x1=-2a-1;
x2=2a.
Тоді
у1=-5a-2;
у2=3a.
Перевіримо, чи належить  до  ОДЗ другого рівняння  lg(2х-а-a)=lg(4a2+x-x2
даної системи дві  пари чисел:
(-2a-1; -5a-2),  (2a; 3a). Перевірку виконайте самостійно.
Таким чином, пара чисел (-2a-1; -5a-2) вимагає такої  множини   а<-1/3.
Пара чисел (2a; 3a) вимагає такої  множини   а>0.
Відповідь: якщо  а<-1/3,  то  система має одну пару розв’язків:     (-2a-1; -5a-2);  
якщо  -1/3<а<0,  то система розв’язків немає;
якщо  а>0,  то система має розв’язок:    (2a; 3a).

Завдання для самостійної роботи.

2.Розв’яжіть систему двох рівнянь
|-|=|x-|;  
lg(y-3х+a)=lg(18a2+23а-4+(9а-2)x+x2)
 залежно від дійсних значень параметра а.
    Відповідь: якщо  а<-1+3/17,  то система розв’язків немає;
якщо  -1+3/17<а<5/32,  то система має одну  пару:     (-3a-4; 7a+8);
якщо  а>5/32,  то система має дві  пари:    (-6a+1; 13a-2),  (-3a-4; 7a+8).
3.Розв’яжіть систему двох рівнянь:
|у+х-а|=|4x-|;
 (2а-y-)0,5=а 
залежно від дійсних значень параметра а.
    Відповідь: якщо  а<0,  то система розв’язків немає;
якщо  а0,  то система має два розв’язки:    (1,2a-0,2а2; -0,4a-0,6а2),  (3-1а2+4а/3; -2a/3-5а2/3).
4.Знайдіть кількість розв’язків системи двох рівнянь:
 |х-а|×|у-а2|=0
|х-1+а2|×|у-а2|=0 ;
 залежно від дійсних значень параметра а.
Відповідь: має безліч числових розвязків, які можна записати у вигляді пар: (а; -a2),  ( -1+а2; а2),  для дійсних значень параметра а.


5. Розв’язати систему рівнянь: 
4-2cospy=2/(1+2x2);
 y=2-x2  
Якщо система єдиний розв’язок (хо ; уо), то у відповідь записати суму  хо + уо,  Якщо система більше, ніж один розв’язок, то у відповідь записати кількість усіх розв’язків.

Відповідь: (0; 2) то сума 0 + 2 = 2.




31 травня 2017 року відбулося зовнішнє незалежне оцінювання з математики . Пропонуємо ознайомитися з правильними відповідями до завдань сертифікаційної роботи з математики та схемою оцінювання завдання відкритої форми з розгорнутою відповіддю.

Завдання сертифікаційної роботи











Немає коментарів:

Дописати коментар