Властивості цілих многочленів на множині цілих чисел

Можливість  виділення з многочлена  лінійних множників пов’язана з наявністю у цього многочлена дійсних коренів.

Властивість 1.  Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами приймає тільки непарні значення при будь-яких цілих значеннях змінних, якщо у нього одночасно виконуються дві  умови:

1) многочлен має вільний член, що виражений непарним числом;

2) сума усіх коефіцієнтів  многочлена, без вільного члена, парна.

Властивість 2.  Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами приймає тільки непарні значення при будь-яких цілих значеннях змінних, якщо у нього кількість непарних коефіцієнтів  многочлена разом  із вільним членом, непарна.

Властивість 3.   Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами немає цілих коренів, якщо у нього одночасно виконуються умови:

1) многочлен має вільний член, що виражений непарним числом;

2) сума усіх коефіцієнтів  многочлена, окрім вільного члена, парна.

Властивість 4.   Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами немає натуральних коренів, якщо у нього одночасно виконуються умови:

1) многочлен має вільний член;

1) усі  коефіцієнти  многочлена разом з вільним членом, одного знаку.

Властивість 5.   Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами має корінь 1, якщо у нього сума усіх коефіцієнтів разом із вільним членом дорівнює нулю.

Властивість 6.   Довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами одного знаку має корінь х = -1, якщо у нього сума усіх коефіцієнтів, що стоять при парних степенях змінної, включаючи вільний член, рівна  сумі  усіх коефіцієнтів, що стоять при непарних степенях змінної.

Властивість 7.   Довільний многочлен від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами  має хоча б один дійсний корінь, якщо у нього коефіцієнти при найбільшому степені  змінної  і вільний член – це два числа, що мають різні знаки.

Властивість 8.   Довільний многочлен парного степеня(окрім нульового степеня) від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами  має хоча б два дійсних корені, якщо у нього коефіцієнти при найбільшому степені  змінної  і вільний член – це два числа, що мають різні знаки,  при цьому знаки дійсних коренів різні.

Властивість 9.   Довільний многочлен f(x) парного степеня(окрім нульового степеня)  від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами  має хоча б один дійсний корінь, якщо знайдеться таке натуральне n таке, що добуток f(n)f(0)< = 0. 

Властивість 10.  Якщо довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами не приймає  парні значення при будь-яких цілих значеннях змінних, то у нього немає цілих коренів.

Властивість 11.  Якщо довільний многочлен від однієї змінної з цілими коефіцієнтами приймає  значення  тільки одного знаку(або тільки додатні, або тільки від’ємні) при будь-яких цілих значеннях змінних, то у нього немає цілих коренів.

Властивість 12.   Довільний многочлен f(x) будь-якого степеня(окрім нульового степеня)  від однієї змінної з цілими коефіцієнтами  має парним значенням  наступне число f(а) + f(-а) та парне значення:  f(а):а + f(-а):(-а)=0, де а – вільний член многочлена.  Тобто, корнем многочлена

 f(х):х + f(-х):(-х)=0 є вільний член f(x).

Парні та непарні значення квадратного тричлена

Усі три незалежних цілих коефіцієнти  a, b, c можуть приймати одне із двох значень: парне або непарне. Всього існує вісім різних випадків запису квадратного тричлена з цілими  коефіцієнтами за критерієм парності:

a	x2+	b	x+	c	=f(x)
2n	x2+	(2k – 1)	x+	2q	=f(x)
2n	x2+	(2k – 1)	x+	(2q – 1)	=f(x)
2n	x2+	2k	x+	(2q – 1)	=f(x)
2n	x2+	2k	x+	2q	=f(x)
(2n – 1)	x2+	(2k – 1)	x+	(2q – 1)	=f(x)
(2n – 1)	x2+	(2k – 1)	x+	2q	=f(x)
(2n – 1)	x2+	2k	x+	2q	=f(x)
(2n – 1)	x2+	2k	x+	(2q – 1)	=f(x)

Всього існує шістнадцять різних випадків цілих значень квадратного тричлена з цілими коефіцієнтами:

ax2  + bx + c = f(x),  якщо х = 2m
ax2 +	bx +	c	= f(2m)
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m )2+	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1

Теорема. Довільний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами при парних значеннях змінної приймає таку ж парність, яку має вільний член.

Теорема. Довільний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами серед своїх цілих коренів немає парних коренів,  якщо вільний член виражений непарним числом.

Доведення. Таблиця дає повну картину значень квадратного тричлена при парних значеннях  х:

ax2  + bx + c = f(x),  якщо х = 2m
ax2 +	bx +	c	= f(2m)
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
2n(2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m )2+	(2p – 1)(2m) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	2k	=2q
2n(2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m)2 +	(2p – 1)(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m)2 +	2p(2m) +	(2k – 1)	=2q - 1

Теорема. Довільний многочлен стандартного вигляду з цілими коефіцієнтами серед своїх цілих коренів немає парних коренів,  якщо вільний член виражений непарним числом.

Доведення.  Якщо вільний член виражений непарним числом, то значення квадратного тричлена  f(2m) =2q - 1, і  ніколи не буде дорівнювати нулю, бо нуль – це парне число.

Оглянемо таблицю значень квадратного тричлена при непарних значеннях зиінної:

ax2  + bx + c = f(x),  якщо х = 2m – 1
ax2 +	bx +	c	= f(x)
2n(2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	2k	=2q - 1
2n(2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q
2n(2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q - 1
2n(2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	2k	=2q - 1
(2n – 1) (2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q

Або

ax2  + bx + c = f(x),  якщо х = 2m – 1
ax2 +	bx +	c	= f(x)
2n(2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	2k	=2q
(2n – 1) (2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	2k	=2q
2n(2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q
(2n – 1) (2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q
2n(2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	(2k – 1)	=2q - 1
(2n – 1) (2m – 1)2 +	2p(2m – 1) +	2k	=2q - 1
2n(2m – 1)2 +	(2p – 1)(2m – 1) +	2k	=2q - 1

Теорема.  Якщо існують цілі корені зведеного квадратного тричлена, то вони мають однакову парність(або обидва корені непарні, або обидва корені парні), якщо b – парне число, і два корені мають різну парність коренів( тільки один із коренів парний, а другий корінь – непарний),  якщо b – непарне число.

Доведення.  Випадок 1. Два цілі корені існують і обидва парні, тобто 2k i 2n. Тоді згідно теореми Вієта у зведеного  квадратного тричлена стандартного вигляду лінійний коефіцієнт  дорівнює  протилежній сумі  цих двох парних коренів, а отже  має бути записаний як  2m.

Випадок 2. Два цілі корені існують і обидва непарні, тобто 2k-1 i 2n-1. Тоді згідно теореми Вієта у зведеного  квадратного тричлена стандартного вигляду лінійний коефіцієнт  дорівнює  протилежній сумі  цих двох непарних коренів, а отже  має бути записаний як  2m.

Випадок 3. Два цілі корені існують і один непарний,  а інший парний тобто 2k-1 i 2n. Тоді згідно теореми Вієта у зведеного  квадратного тричлена стандартного вигляду лінійний коефіцієнт  дорівнює  протилежній сумі  цих непарного і парного коренів, а отже  має бути записаний як  2m-1.

Теорема.  Якщо існують цілі корені зведеного квадратного тричлена, і вони обидва парні,  тоді вільний член цього многочлена кратний 4.

Доведення. Два цілі корені існують і обидва парні, тобто 2k i 2n. Тоді згідно теореми Вієта у зведеного  квадратного тричлена стандартного вигляду вільний член повинен бути рівний добутку цим двом парним кореням, а отже  має бути записаний як  4m.

Теорема.  Якщо у зведеного  квадратного тричлена стандартного вигляду (тобто а = 1) із цілим  вільним членом та лінійним коефіцієнтом такими, що  обидва непарні, то квадратний тричлен не має цілих коренів. 

Доведення. Від супротивного. Припустимо, що цілі корені існують. Тоді у зведеного  квадратного тричлена стандартного вигляду вільний член повинен бути кратний цілим кореням, а так як він виражений непарним числом, то його дільники це тільки непарні. А сума двох непарних дільників парна, і ця парність  рівна  парності лінійного коефіцієнта згідно теореми Вієта, що порушує задану умову непарності  лінійного коефіцієнта.

Теорема.  Якщо у  квадратного тричлена стандартного вигляду  із цілими  коефіцієнтами  а та b і с = 2k-1 такими, що  обидва а та b  однакової парності, то квадратний тричлен не має цілих коренів. 

Доведення. Усі значення тричлена  при цілих значеннях змінної – непарні!, Тому тричлен ніколи не дорівнюватиме нулю при цілих значеннях змінної.

Звертаємо вашу увагу, що рівняння не має розв'язків у цілих числах, якщо для довільних цілих значень змінної в лівій і правій частинах рівняння одержуються цілі числа, для яких виконується хоча б одна з таких умов:

1)Ліва і права частини під час ділення на деяке ціле число дають різні остачі.

 Наприклад, у рівнянні n³-n = 3m²+1 для довільних цілих чисел ліва частина рівняння, тобто вираз

n(n - 1)(n + 1),

ділиться на 3, а права частина під час ділення на 3 дає в остачі 1.

2)Остання цифра числа в лівій частині інша, ніж остання цифра числа в правій частині.

Наприк­лад, у рівнянні

х²+х -1 = 3^2у+1

 для довільних натуральних х та у числа, які одер­жуються в лівій частині, закінчуються цифрами 1, 5 і 9, а числа, які одержуються в правій частині, закінчуються цифрами 3 і 7.

3) Одна з частин рівняння є точним квадратом (кубом), але друга частина такою не є.

Наприклад, у рівнянні

4^m = 3∙k + 2

ліва частина для довільного натурального m є точним квадратом, тоді як права частина ні для якого нату­рального k не може бути точним квадратом (точний квадрат під час ділення на 3 дає в остачі або 0, або 1).

Довідник. Формули скороченого множення

для трьох змінних

Однією з таких якісних характеристик може бути парність.

Наводимо ще такі властивості парності чисел:

  2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f  + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f  – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

Таким чином, парність результату суми та різниці натуральних чисел не залежить від розстановки плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

Добутки двох множників, що містять три змінні

(a + b + c)² = (a + b + c)(a + b - c)=  a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

(a + b + c)(a + b - c)= (a + b)² – c² = a² + 2ba+ b² – c²;

(a - b + c)(a + b - c)= a² - b² + 2bc – c² = a² -(c - b)²;

(a - b - c)(a - b - c)=    a² + b² + c² + 2bc – 2ab -2ac  = a² -(c - b)²;

(a - b - c)(a + b - c)=    a² - b² + c² -2ac  =(a - c)² -b²;

Деякі факти про розклад цілих многочленів на множники

Нехай а₁, а₂, а₂, …, а_n – попарно різні цілі числа. Тоді:

А) многочлен (х - а₁) (х - а₂)(х - а₂) … (х -  а_n) - 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Б) многочлен (х - а₁)(х - а₂)(х - а₂) … (х -  а_n) + 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня, окрім наступних випадків:

(х – а)(х – а - 2) + 1 = (х – а - 1)²;

(х - а) (х – а - 1) (х – а - 2 )(х -  а - 3 ) + 1 = ((х – а - 1(х – а - 2) – 1)²;

В) многочлен (х - а₁)²(х - а₂)²(х - а₂)² … (х -  а_n)² + 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Г) якщо р – просте число, то многочлен х^р – х – 1 – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Д) якщо р – просте число, а – натуральне число, що не ділиться на р, то многочлен х^р – х – а – незвідний, тобто не розкладається на многочлени меншого степеня;

Є) будь-який многочлен з цілими коефіцієнтами можна записати як суму двох незвідних многочленів.

Добутки трьох множників, що містять три змінні

Завдання 1.

Чому не існує трійки цілих чисел ( a; b; c),  яка задовольняє такі рівняння:

А) (a+ b)(a + c)(b + c)= 1;     Б) (a - b)(a - c)(b - c)= 1;

В) (a + b)(a - c)(b - c)= 1;      В) (a + b)(a - c)(b - c)= 1;

Г) (a + b)(a + c)(b - c)= 1?

Відповідь.  (a+ b)(a + c)(b + c) - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.

Завдання 2.

Чи існують трійки цілих чисел ( a; b; c),  які задовольняє 

А) (a - b)(a - c)(b - c)= 2;     А) (a - b)(a - c)(b - c)= 0;

Відповідь. А) Існують такі трійки чисел: (n; n-1; n-2)   (n; n-1; n+1) (n; n+2; n+1), де  n - ціле числа.   Б) Існують такі трійки чисел: (n; n; k)   (k; n; n) (n; k; n), де  n, k - цілi числа.  

(a - b)(a - c)(b - c)=  a²b -аb² + ac²- a²c  + b²c - bc²  - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.

(a + b)(a + c)(b + c)=  a²b +аb² + ac²+ a²c  + b²c + bc² +2abc;    - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.

(a - b)(a + c)(b - c)=  a²b -аb² - ac²- a²c  - b²c + bc² +2abc; - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.

 (a - b)(a + c)(b + c)=  a²b - аb² + ac²+ a²c  - b²c - bc²;  - цей вираз завжди парне число,  якщо усі змінні – це  цілі числа.   

Завдання 3.

Знайти трійку чисел ( a; b; c)  яка задовольняє   (a - b)(a - c)(b - c)= -1 

Сума трьох квадратів із трьох змінних

(a + b + c)² +(a - b - c)² +(a + b - c)² = 3a² + 3b²+ 3c²+ 2а²b + 2аb² -2a²c

  цей вираз буде непарним числом, якщо тільки одна змінна є  непарне число  або  усі три змінні є непарними числами.

(a + b + c)(a - b - c)(a + b - c) = a³ - b³ +c³ + а²b - аb² -a²c - c²a - b²c + c²b+2abc;

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a + b - c)² = a² + b² + c² + 2аb - 2bc -2ac;

(a - b - c)² = a² + b² + c² - 2аb + 2bc -2ac;

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

(a + b + c)³ = a³ + b³+ c³+ 3а²b + 3аb² +3a²c +3ac²+3b²c+3bc²+6abc;

(a - b - c)³ = a³ - b³- c³- 3а²b + 3аb² -3a²c +3ac²-3b²c-3bc²+6abc;

(a + b - c)³ = a³ + b³- c³+ 3а²b + 3аb² -3a²c +3ac²-3b²c+3bc²-6abc;

(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a + b + c) = (a² – (b - c)²) (a + b + c)²

(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(b + c- а) = 2a²c² +2b²c² +2b²a² – a⁴– b⁴– c⁴

Довідник. Формули скороченого множення

Властивості степенів з цілим показником

аⁿa^m=a^n+m;    аⁿ:a^m=a^n-m;     (аⁿ)^m=a^nm;     а⁰=1;     а^-n=1:aⁿ;    а=а^0,5a^0,5=1a¹ =(a^0,5)²;

(ab)^m = a^mb^m ;  a^{– m}b^{– m} =(ab)^-m;         a^m:b^m = (a:b)^m = b^{– m} a^{– m} =(b:a) ^{– m}       

  

Різниця та сума квадратів

a² + b² – не розкладається  на множники на множині цілих многочленів з дійсними коефіцієнтами.

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

Різниця та сума кубів

а³ – b³ = (a – b)(a² + аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a + b)(a² – аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

Різниця та сума біквадратів

а⁴ – b⁴ = (a – b)(a³ + а²b + аb² + b³) = (a – b)(a + b)( a² + b²);

а⁴ + b⁴  - не розкладається  на множники на множині цілих многочленів з дійсними коефіцієнтами.

а⁵ – b⁵= (a – b)(a⁴+ а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴ – а³b + а²b² – аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m  - не розкладається  на множники на множині цілих многочленів з дійсними коефіцієнтами.

аⁿ – bⁿ = (a–b)( a^n-1+ а^n-2b + а^n-3b² +… + а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді  аⁿ – 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

Степінь суми двох виразів.

(a±b)⁰ = 1;        (a±b)¹ = a±b;  1:aⁿ ±(1:bⁿ) =a^-n±b^-n=(ab)^-n(aⁿ ± bⁿ) =a^-n ± b^-n 

Квадрат  двочлена:

(a + b)² =(b + a)² = a² + 2ab + b² –  це квадрат суми двох чисел.

(a – b)² =(b – a)² = a² – 2ab + b² –  це квадрат різниці двох чисел.

Куб  двочлена:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  – це куб суми двох чисел;

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  – це куб суми або різниці двох чисел;

Іноді стають у нагоді такі формули:

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² + b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ± b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Для непарних n: аⁿ + bⁿ = (a+b)( a^n-1-а^n-2 b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді a²ⁿ⁺¹ + 1= (a+1)( a^n-1- а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

Сума трьох квадратів і сума трьох кубів.

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

Три способи запису квадратного тричлена

ax² + bx + c = а(х – х₁)(х – х₂)= а(х - 0,5b:a)² – 0,25D:a.

Дискримінант D = b² – 4ac.  Два корені:   х₁ = (‒ b ‒ (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a),  х₂ = (‒ b + (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a).   Координати вершини  квадратичної  параболи: х_в = - 0,5b:a;  у_в =  - -0,5b:a.

  xy + x + y  + а = (х + 1)(y + 1) + а - 1_.               

 xy + x + y  + 1= (х + 1)(y + 1)

aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a).

Якщо b² ‒ 4ac – невід’ємний,  то ax² + byх + cy² = а(х ‒ k₁y) (х ‒ k₂y),

де k₁, k₂ ‒ корені квадратного рівняння  ak² + bk + c = 0.

Множина цілих чисел

На множині натуральних чисел виконуються операції додавання і множення, але не завжди виконується операція віднімання. Розширюючи множину N так, щоб арифметична операція віднімання завжди виконувалася, ми отримаємо множину цілих чисел Z. Тому Z=N È {0, -1, -2,...} або множина цілих містить цілі від’ємні числа(перед від’ємними числами завжди ставлять знак «мінус», нуль(це число немає знаку) та цілі додатні числа(перед додатніми числами ставлять знак плюс або іноді нічого не ставлять): Z={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}, тобто, множина цілих чисел Z містить множину натуральних чисел, число нуль та числа, які протилежні натуральним(цілі від’ємні числа).

Зауваження. Впровадження нуля та від'ємних цілих чисел здійснено з метою запровадження дії віднімання, оберненої до додавання, так, щоб ре­зультат був завжди визначений. Це не потребує нових аксіом і здій­снено таким чином: множину натуральних чисел можна розширити до декартового добутку самої на себе з подальшою факторизацією – роз­биттям на класи еквівалентності.

Властивості додавання, множення та відношення порядку для множини цілих чисел ті самі, що й для множини натуральних чисел.

Головну роль у всій теорії цілих чисел відіграють наступні властивості чисел(далі ці властивості чисел сформульовані як теореми,  але ми наводимо їх без доведення.

Т е о р е м а  про  ділення  з  остачею. Для будь-якого цілого а і b > 0 існує і  притому  єдині цілі q та  r, такі, що

а = bq + r,                  де  0 £  r < | b |.

Зауваження: Ціле  число а називають ділене, ціле число b називають дільником, ціле число q – неповною часткою(результат дії ділення), число r називають остачею від ділення а: b.

Зауваження: Якщо ціле число  а ділиться на ціле число  b націло тоді внаслідок ділення отримуємо ціле число, тбто, повну частку, або   остача від ділення а:b  рівна нулю). Тому із умови подільності а:b  націло слідує, що існує деяке ціле число  z  таке,  що  а= z∙b.  

Теорема. Довільне ціле число, окрім 0, ділиться на себе і на 1. 

Теорема. Нуль ділиться на будь-яке ціле число, окрім 0.

Зауваження: рівняння  0∙b = 0 має безліч розв’язків на множині цілих чисел.  Проте слід запам’ятати:    0∙0 = 0,     0:b = 0.

Модуль числа

Теорема. Сума двох цілих чисел  q та r є цілим числом.

Зауваження. На  множині цілих чисел завжди виконується дія додавання та віднімання.

Правило 1. Щоб знайти суму цілих чисел однакових знаків, то спочатку додають  модулі  цих чисел (це числа без знаку), а потім перед сумою ставлять знак будь-якого доданку.

Приклад:

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 = -55

або

+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=+55=55.

Правило 2. Щоб знайти суму двох цілих чисел протилежних знаків, то спочатку віднімають  модулі   цих чисел, від більшого віднімають менше, а потім перед результатом  ставлять знак більшого за модулем числа.

Приклад:

+ 3 -5 = -2,

 -7 + 9 = +2 = 2,

+20 -9 = + 11 = 11.

Теорема. Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю.

Приклад. (-1,5) + (+1,5) = 0.

Теорема. Якщо один з двох доданків дорівнює нулю, то сума до­рівнює другому доданку: а + 0 = 0 + а = а.

Переставний і сполучний закони додавання справджуються для всіх цілих чисел.

Зауваження: Додавати кілька чисел з різними знаками можна послі­довно: спочатку знайти суму двох перших доданків, потім до цієї суми додати третій доданок і т. д. Але можна окремо додати всі додатні і всі від'ємні числа, а потім дві здобуті суми додати за правилом 2 додавання чисел з різними зна­ками.

Теорема. Якщо  два довільні  цілих числа  d та s,  то існує єдине ціле число х, яке задовольняє рівняння

d +  х = s.

  Зауваження. Ціле число х знаходять за допомогою дії віднімання і записують  х = s – d. 

Математики: 

число  d називають відомим  доданком,

число х називають невідомим доданком,

Зауваження: Наприклад, нехай цілі числа n і m еквівалентні, якщо їхня різ­ниця – парне число.  Легко пересвідчитися, що вказане відношення є відношенням еквівалентності на множині цілих чисел, а множини парних і непарних чисел – класи еквівалентності. Тобто всі цілі числа можна розділити на дві множини:

·        множина парних чисел(2к); 

·        множина непарних чисел(2к+1).

Теорема. Добуток двох цілих чисел  q та r є цілим числом.

Зауваження. На  множині цілих чисел завжди виконується дія множення. Добуток цілих чисел з однаковими знаками є додатнім, а добуток цілих чисел з різними знаками є число від’ємне. Добуток  будь-якого цілого числа і нуля дорівнює нулю. (Аби мати однозначність, математики домовилися, що число нуль не може бути дільником довільного цілого числа, тобто ціле число не можна поділити на нуль)

Зауваження. Множина цілих чисел серед математиків ще отримала назву кільце, тому що у цій множині завжди виконуються три арифметичні дії: додавання, віднімання, множення.

     Щоб визначити добуток двох цілих чисел, треба перемножити їх модулі і перед результатом поставити знак плюс, якщо обидва множники мають однакові знаки, чи мінус, якщо знаки множників різні. Коли ж хоч один множ­ник дорівнює нулеві, то й добуток дорівнює нулеві.

Щоб знайти добуток кількох чисел з різними знаками, треба перемножити їх модулі і перед результатом поста­вити знак плюс, якщо кількість від'ємних множників парна, чи мінус, якщо кількість від'ємних множників непарна.

Переставний, сполучний і розподільний закони мно­ження  справджуються для всіх цілих чисел.

a∙b = b∙a, - переставний закон множення.

(a∙b)∙c = (c∙b)∙a – сполучний закон множення.

(a±b)∙c = c∙a±c∙b – розподільний закон множення.

Степінь цілого числа з натуральним показни­ком - це добуток кількох однакових цілих множ­ників:

                                       а∙а∙….∙а = аⁿ.

Зауваження. Будь-який парний степінь від'ємного числа додатний, а   непарний _– від'ємний. 

Зауваження. Другий степінь числа називають квадратом числа. Вираз (-5)² – читають: «Мінус п’ять у квадраті».

Третій степінь числа називають кубом числа. Вираз (-5)³ – читають: «Мінус п’ять у кубі».

Степінь ненульового числа з нульовим показником дорівнює одиниці.

Зауваження. Не можна підносити нуль до нульового степеня.

0⁰ – не визначений.

Степінь цілого числа з від’ємним  цілим показником - це  звичайний дріб, у чисельнику якого одиниця, а в знаменнику добуток кількох однакових цілих множ­ників.

а^-n = 1/(a∙a∙….∙a) = 1/aⁿ.

Зауваження. Не можна підносити нуль до від’ємного показника.

0^-6 – не визначений.

Властивості степенів з цілим показником:

1.     aⁿ ∙bⁿ = (a∙b)ⁿ;

2.     (aⁿ)ⁿ = a^n∙n;

3.     (aⁿ)^m = (a^m)ⁿ = a^n∙m;

4.     aⁿ :bⁿ = (a:b)ⁿ;

5.     aⁿ /a^m = a^n-m;

6.     aⁿ ∙a^m = a^n+m;

7.     (a/b)ⁿ = (b/a)^-n;

8.     1ⁿ  = (-1)^2k = 1;

9.     - 1ⁿ  = (-1)^2k-1 = -1;

10.                       a^-m = (1/a)^m.

Теорема. Якщо ціле число  а ділиться на ціле число  b націло (внаслідок ділення отримуємо ціле число, тобто, повну частку, або   остача від ділення а:b  рівна нулю) і  ціле число  b ділиться на ціле число    c  націло, тоді ціле число  а ділиться на ціле число  с  націло.

Теорема. Якщо кожний доданок суми або різниці с± а цілих чисел ділиться на с, то сума і різниця  поділиться на с.

Теорема. Якщо а ділиться на b  націло або с ділиться на b націло, то добуток а∙с  поділиться на b націло.

Таким чином, на множині цілих  справедливі такі властивості:

аb(а ± b)=2к

n(n+1)= 2к, тобто, добуток двох послідовних цілих чисел завжди парне число;

(n+2)(n+1)n = 3к, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 3 націло;

(n-1)n(n+1) = 6к, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;

(n-1)n(n+1)(n+2) = 24к, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) = 2∙3∙4∙5к=120к, тобто, добуток п’яти послідовних цілих чисел завжди ділиться на 120 націло.

Варто звернути увагу на те, що сума парної кількості непарних чисел є парною.

Узагальнення цього факту виглядає так:

парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків:

якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

  2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f  + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f  – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

Множина раціональних чисел.

Означення. Число називається раціональним, якщо його можна записати у вигляді звичайного дробу, чисельник якого є цілим числом, а знаменник  є натуральним числом.

ПЕРІОДИЧНІ ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ.

Уважно прогляньте такі запитання та відповіді на них.  Наведіть власні приклади десяткових дробів на кожне запитання.

Запитання: Чи вірно, що якщо знаменник дробу містить тільки дев’ятки, то маємо періодичний дріб?

 Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади періодичних десяткових дробів.

0,5555…. = 0,(5) = 5:9 = 5/9; 

0,3333…. = 0,(3) = 1:3 = 3/9 = 1/3; 

0,6666…. = 0,(6) = 2: 3 = 6/9 = 2/3;

0,142857142857142857…. = 0,(142857) = 1:7 = 1/7 = 142857 / 999999;                    

0,4545454545… = 0,(45) = 5:11 = 45/99 = 5:11 = 5/11;

0,615384615384615384… = 0,(615384) = 8:13 = 8/13 = 615384 / 999999.

Запитання: Чи вірно, що якщо знаменник дробу містить тільки 10, 100, 1000, і так далі…, то маємо скінчені дроби?

Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади скінчених десяткових дробів:

0, 5 = 1:2 =1/2 = 5/10;

0, 25 = 1:4 =1/4 = 25/100;

0, 3 = 3:10 = 3/10;

0,125 = 1:8 = 1/8 = 125/1000;

0,05 = 1:20 = 1/20 = 5/100.

Запитання: Чи вірно, що існують нескінчені неперіодичні дроби?

Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади нескінчених неперіодичних десяткових дробів:

3,1415926535897932384626433832795… = π (трансцендентне число, відношення довжини кола до дов­жини його діаметра);

2,71828182… = е (трансцендентне  число Ейлера, значення виразу  (1+1/к)^к, якщо к → ∞);

1,4142135623730950488016887242097… = 2^0,5 (ірраціональне число,  довжина діагоналі одиничного квадрата).

Запитання: Як розпізнати скінчені  та нескінчені десяткові дроби?

Відповідь: Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді звичайного дробу

a/b = a:b,

тобто, записати, як результат дії ділення. Зазначимо,  що

b є N, (тобто, b ≠ 0, натуральні числа),

а є Z (цілі числа, тобто, від’ємні числа, додатні числа і нуль).

Запитання: Чи завжди в результаті ділення двох скінчених десяткових дробів ми отримаємо скінчені  десяткові дроби?

Відповідь: Не завжди в результаті ділення одного десяткового дробу на другий дістаємо скінченний десятковий дріб.  Шуканою часткою може бути і нескінченний десятковий дріб.

Запитання: Як розпізнати скінчені  та нескінчені десяткові дроби?

 Нескінченні десяткові дроби бувають: періодичні і неперіодичні.

Відповідь: Наприклад, якщо ділити 3 на 11, у частці дістанемо нескінченний десятко­вий дріб 0,272727..., у якому цифри 2 і 7 періодично пов­торюються. Це – нескінченний періодичний десятковий дріб із періодом 27.

Але відношення довжини кола до дов­жини його діаметра виражається нескінченним неперіо­дичним десятковим дробом 3,14159... .

Запитання: Які бувають періодичні дроби?

Відповідь: Періодичні дроби бувають чисті і мішані.

Чистим періодичним дробом називається такий, у якого період починається відразу після коми, наприклад чистий періодичний дріб:

12,363636...

Мішаним періодичним дробом називається  такий, у якого між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, наприклад мішаний періодичний дріб:

0,07464646...

Записувати періодичні десяткові дроби прий­нято скорочено:

замість 3,2666... пишуть 3,2(6),

замість 0,424242... пишуть 0, (42), тобто «період 42 записують у дужках.

Запитання: Як розпізнати скінчені дроби?

Відповідь: Звичайний нескоротний дріб можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу тоді і лише тоді, коли в роз­кладі на прості множники його знаменника немає інших множників, крім 2 і 5.

Запитання: Чи завжди нескоротний звичайний дріб  є  періодичним?

Відповідь: Якщо звичайний нескоротний дріб перетворюється в не­скінченний десятковий дріб,  то останній обов'язково періо­дичний.

 Запитання: Як розпізнати чисті та мішані періодичні дроби?

Відповідь: Якщо у знаменнику дробу немає множ­ників 2 і 5, то він чистий періодичний, якщо ж знаменник має множники 2 або 5 та інші числа, тоді дріб мішаний періодичний.

Приклади. Дріб 5/33 до перетворюється в чистий   періо­дичний десятковий, бо 33 не ділиться ні на 2, ні на 5. Дріб 11/12 перетворюється у мішаний   періодичний   десятко­вий дріб, бо знаменник 12 ділиться на 2.

Справді,

5/33  = 5:33 = 0,15151515… = 0,(15);

11/12 = 11: 12 = 0,91666666… =  0,91(6).

Запитання: Як можна перетворювати чисті періодичні десяткові дроби в звичайні дроби?

Відповідь: Щоб перетворити чистий періодичний дріб у звичайний, досить записати чисельником його період, а знаменником – число, позначене стількома дев'ятками, скільки цифр у періоді.

Приклади.

0,(8) = 8/9;

0,(84) = 84/99;

0,(876) = 876/999;

0,(8456) = 8456/9999;

15,(37)= 15 + 37/99

12,(352)= 12 + 352/999.

Запитання: Як можна перетворювати мішані періодичні десяткові дроби в звичайні дроби?

Відповідь:  Щоб перетворити мішаний періодичний дріб у звичай­ний, досить від числа, що стоїть до другого періоду, від­няти число, що стоїть між комою і першим періодом, і здо­буту різницю взяти чисельником, а знаменником написати число, позначене стількома дев'ятками, скільки цифр у пе­ріоді, і зі стількома нулями на кінці, скільки цифр між комою і періодом.

Приклади. 

 0,8(57) = (857 – 8) / 990 =  849 / 990

 6,7(4) = 6 + (74 – 7)/90 = 6 + 67/90.